Напряженное и деформированное состояние в точке. Понятие о тензорах напряжений и деформаций. Эллипсоиды напряжений и деформаций

В общем случае напряжение характеризуется производной усилия по площади в частном случае при так называемом равномерном распределении напряжений, когда. Понятие в разных точках рассматриваемого сечения тела величина напряжения остается  постоянной,  напряжение   равно простому отношению усилия к площади сечения S напряжения связано с направлением площадки, в которой оно действует, а так как через любую точку может быть про­ведено бесконечное количество площадок, то и напряжение, действующее в этой точке, может принимать бесконечное количество значений. Эта неопределенность является, однако, кажущейся ввиду того, что вся совокупность напряжений или как говорят «напряженное состояние» в данной точке в наиболее общем случае произвольного расположения осей координат определяется всего шестью величинами. Действительно, любую произвольно ориентированную площадку всегда можно заменить тремя площадками, перпендикуляр­ными трем координатным осям, а действующее на каждой из полученных площадок напряжение, как вектор, — тремя напряжениями, параллельными этим осям. Таким образом, напряженное состояние в точке может характеризоваться тройкой векторов или тензором напряжений, который за­писывается в виде квадратной таблички из девяти элементов или компонентов тензора, заключенной в круглые скобки (иногда тензор изображается одной большой буквой в круглых скобках).

Здесь первый индекс обозначает ось, которой перпендикулярна данная площадка, а второй — ось, вдоль которой действует напряжение. Таким образом, компоненты с одинаковыми индексами являются нормальными напряжениями, а с разными — касательными. Поскольку условия равновесия требуют равенства касательных напряжений с одинаковыми, хотя и разно расположенными индексами, и тензор напряжений является симметричным, а напряженное состояние в точке характеризуется, следовательно, не девятью, а всего шестью величинами, а именно: а) тремя нормальными напряжениями, действующими вдоль коор­динатных осей_у и б) тремя касательными напряжениями, действующими в трех координатных плоскостях.

Можно доказать, что при изменении положения площадки конец вектора напряжений описывает центральную поверхность второго порядка, а именно эллипсоид, называемый эллипсоидом напряжений, который является геометрическим изображением тензора напряжений. Полуоси эллипсоида изображают нормальные компоненты тензора напряжений.

Так как под действием напряжений тело деформируется, каждому напряженному состоянию соответствует деформированное состояние. Но деформация тела характеризуется относительными перемещениями его частиц, происходящими как за счет деформации самих частиц, так и за счет «жесткого» смещения частиц друг относительно друга в результате деформации тела и может быть разде­лена на так называемую чистую деформацию, т. е. деформа­цию частиц и жесткое перемещение частиц. Обычно при ха­рактеристике деформированного состояния жесткое перемещение частиц не учитывается, а рассматривается лишь тензор деформаций.

Компоненты с одинаковыми индексами являются элементарными удлинениями, т. е. представляют собой относительное растяжение или сжатие линейных элементов (или элементарных отрезков) вдоль соответствующих осей, а компоненты с разными индексами есть элементарные сдвиги, т. е. угловые смещения элементарных отрезков друг относительно друга. Жесткое линейное перемещение элементов, т. е. в данном случае их общей точки, и жесткое угловое смещение не учитываются.

Тензор деформаций изображается эллипсоидом де­формаций, полуосями которого служат нормальные компоненты тензора деформаций или удлинения.

Важно обратить внимание на то, что как тензор напряжений, так и тензор деформаций могут быть представлены в виде суммы двух тензоров. Причем первые тензоры каждой суммы состоят из трех равных компонентов, т. е. изображаются шарами напряжений и деформаций, а потому называются шаровыми. Вторые тензоры называются девиаторами или сокращая на abc и отбрасывая члены с произведениями удлинений как бесконечно малые высших порядков.

Таким образом, шаровой тензор напряжений и деформаций связан только с изменением объема, а девиатор с изменением формы. В вопросах прочности и пластичности, когда рассматривается изменение формы, основную роль играют девиаторы.